第一章
伽利略的想法
重的快，轻的慢？
好像不太对……
好像不太对……
伽利略的想法
单颗球的运动
是怎样变化的？
是怎样变化的？
故事旁白
虽然这个实验可能是个传说，但伽利略对于自由落体的探索却是真切的。
伽利略的想法
1位置随时间怎样变化？
2速度是否在变化？
3我们能不能用数据证明？
如果不止于同时落地，我们还能问什么？
自由落体太快，怎样测量？
怎样把运动放慢？
怎样可以记录下运动的轨迹？
先决定：哪些量值得记录？
KEEP · 保留
至少保留：时刻 t 和 位置 s
RULE · 规则
时间间隔相等，单位写清
实验规则：先记录，再解释
LIVE
模拟小球运动过程，记录数据并分析
伽利略真正留下的，不只是公式，更是一套方法。
伽利略：
我把运动放慢，记下位置；数据成表，描成图，才看见 s 与 t² 的规律。但图还只是运动的记录。
笛卡儿：让一个点变成一对数。横坐标变，纵坐标随之变；曲线直接表示两个量的依赖关系。用 (x, y) 表示描述运动过程。
下一站：先不看具体运动，只看曲线本身。
第 2 课——把曲线写成一台机器
第 2 课——把曲线写成一台机器
伽利略
笛卡儿
笛卡儿的做法
如果把墙角看作数轴，蜘蛛的位置不就确定下来了？
一只蜘蛛、一面墙、一个墙角——位置第一次被写成了一对数。
COORDINATE · 笛卡儿
小球是如何运动的
观察小球的运动轨迹
LIVE
如何使用(x,y)描述运动轨迹？
运动是可拆解的
分别计算水平和垂直
水平方向 x
竖直方向 y
从轨迹到机器：给定输入，得到输出
1给定一个水平位置 x，就得到唯一高度 y
2输入改变，输出跟着改变
3这个过程，像不像一台可以操作的机器？
4先描述输入和输出，再给规则命名
y = −1.25x² + 5x
第二章
运作与执行
优秀的人们不应像奴隶一样在计算中浪费时间，如果使用机器，这些工作完全可以委托给其他人。
—— 莱布尼茨
神奇的机器
创造规则，感受对应关系
LIVEx→→f(x)
x→→f(x)机器的名字
莱布尼茨 · 1692
把拉丁语 functio 引入数学。本义是“执行、作用”，当时多指随上一点相关的几何量。
欧拉 · 1734
他写下 f(x)，f 取自 function。由变量和常量以任何方式构成的解析表达式。
李善兰 · 1859
中文“函数”为其意译：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数。”“函”通“含”——一个变量包含着另一个变量的关系。
“机器”的名字
f函数（机器）的名字
rule 函数（机器）的规则
f(x) = −1.25x² + 5x
输入 x → 按规则加工 → 输出 f(x)
两个“机器”的连接
机器 A
规则：f(x) = x − 1
机器 B
规则：g(x) =
那么 h(x) = 是如何作用的结果？ 表示为：
f(x)+g(x) or f(x)·g(x) or f(g(x)) or g(f(x))
哪个表示更合适？
两个“机器”的连接的“安检”要求
机器 A
规则：f(x) = x − 1
机器 B
规则：g(x) =
输入口“安检”
A 机器的输入口如何“安检”？
B 机器的输入口如何“安检”？
B 机器的输入口如何“安检”？
复合之后
函数 h(x) = f(g(x)) 的输入口应该如何安检？
输出口相较于 f(x) 和 g(x)，有什么变化？
输出口相较于 f(x) 和 g(x)，有什么变化？
两个“机器”的换序实验
机器 A
规则：f(x) = x − 1
机器 B
规则：g(x) =
1h(x) = g(f(x)) 的输入口应该如何“安检”？
2输出口相较于 f(x) 和 g(x)，有什么变化？
3比较 h(x) = g(f(x)) 与 h(x) = f(g(x))，说说有什么发现？
警惕复合函数中的“隐蔽陷阱”
机器 C
规则：f(x) = x²
机器 D
规则：g(x) =
机器 E
规则：h(x) =
GG(x) = g(f(x)) 的输入口应该如何“安检”？输出口相较于 f(x) 和 g(x)，有什么变化？
HH(x) = h(f(x)) 的输入口应该如何“安检”？输出口相较于 f(x) 和 g(x)，有什么变化？H(x) = f(h(x)) 呢？
从轨迹到规则
笛卡儿：
我把一对数变成一个点，把运动轨迹放到坐标纸上；横坐标变，纵坐标随之变，曲线和方程彼此对应。但“画成曲线”只是入口，不是函数资格证。
狄利克雷：
我补一个边界：给每个实数一个明确规则——有理数取 1，无理数取 0。它画不出连续曲线，却仍然做到：每个输入，唯一输出。
下一站：先别问“像不像函数”，先问“每个输入是否只有一个输出”。第 3 课——函数边界。
笛卡儿
狄利克雷
第三章
狄利克雷的思考
?什么是函数？
?函数一定画得出图象吗？
从机器到函数：一个输入，唯一输出
✓ 可以
两个输入 → 同一输出
输出唯一即可，不要求输入不同输出也不同
例：f(2) = 4，f(−2) = 4
✗ 不可以
一个输入 → 两个输出
输出一旦不唯一，就不是函数
例：x = 0 时，y = ±2
创意函数
动手设计自己的函数
一些“创意”函数
H(x) ={0, x<0
1, x≥0
1, x≥0
sgn(x) ={−1, x<0
0, x=0
1, x>0
0, x=0
1, x>0
⌊x⌋ =max{n ∈ Z | n ≤ x}
S(x) =x − ⌊x⌋
ReLU(x) =max(0, x)
f(x) =min{x²+1, 2x−1, 3x−4}
f(x) =x + 1x
f(x) =x − 1x
说明：max{1,2,3} = 3，min{1,2,3} = 1
试着画出以上函数的图象——max / min 组合能搭出“屋顶”“阶梯”与“截断”。
一些“创意”函数
f(x) = ⌊x⌋ = max{n ∈ Z | n ≤ x}
不超过 x 的最大整数——阶梯：每个区间输出一个定值，跳变处图象断开，但每个输入仍有唯一输出。
第四章
函数要到哪里去
——函数建模
——函数建模
三个真实故事：一次回放、一次充电、一块冰。
故事 1：决胜分落在哪里
故事 1 · 鹰眼
来点实验 · 03▶
“鹰眼”为什么可以“精准”判断落点？
故事 2：最后的 6%
故事 2 · 快充
来点实验 · 04▶
1
出门前20分钟，手机只剩6%电量。充电器上写着“100W快充”，插上后电量数字飞快上涨；可越到后面，涨得越慢，像跑累了似的。
?100W 难道不是一直“满功率”跑？
2
如果只给你几个时间点和对应电量，你能预测10分钟后充到多少吗？要回答这个问题，你觉得必须记录哪些量？
故事 3：杯里的冰块去哪了
故事 3 · 冰块
来点实验 · 05▶
1
体育课回来，杯里的冰块已经小了一圈。刚开始化得挺快，后来却慢吞吞的，好像越来越“舍不得”消失。
?“冰越少，化得越慢”，这个直觉靠谱吗？
2
如果控制好条件，只记录几个时间点的剩余冰量，你能看出它随时间变化的规律吗？先猜一猜，再用数据说话。
建模任务：完成一个完整模型
1每组选择一个故事或经确认的自定义问题
2完成一次从问题到结论的完整建模
3方法由小组自主决定
4每个结论都要有数据、规则或图象作为证据
5完成后把过程整理进《函数建模研究报告》
小组工作台
| 类别 | 内容 |
|---|---|
| 故事数据卡 | 鹰眼轨迹点卡、快充功率与电量卡、冰块质量卡 |
| 建模记录 | 参考使用第 4 课探究单 |
| 基础工具 | 计算器、直尺、坐标纸、彩笔 |
| 数字工具 | 可选电子表格、GeoGebra 或其他工具。记录“用了什么、为什么用、结果在哪里” |
《函数建模研究报告》
